Herónov vzorec je vzorec na výpočet obsahu všeobecného trojuholníka (v euklidovskej rovine), pomocou dĺžok jeho strán.
Ak sú
dĺžky strán trojuholníka, platí pre jeho obsah
,
kde
je polovičný obvod trojuholníka.
Označme
vzdialenosť vrcholu
od päty kolmice z vrcholu
na stranu
(výška). Pre ostrouhlý trojuholník na obrázku platí:
Odčítame od druhej rovnice prvú, dostaneme:
Z tohto vzťahu vyjadríme
:
Toto platí aj v pravouhlom trojuholníku, v tupouhlom sa namiesto
dáva
(viď. nižšie). Ak do prvej rovnice dosadíme
, získame výšku
:
Ak dosadíme túto výšku do vzorca pre obsah trojuholníka
, dostaneme:
Ďalej pomocou rozkladov upravíme výraz pod odmocninou:
Dosadíme polovičný obvod
,
a dostávame výsledný vzorec:
Vzorec bol formulovaný Herónom z Alexandrie a dôkaz bol publikovaný v jeho knihe Métrika, napísanej v roku 60 pred Kr.[1]
- Kratší dôkaz je možný pomocou kosínusovej vety.
- Obsah trojuholníka je symetrická kvadraticky homogénna funkcia jeho strán.
Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Heronův vzorec na českej Wikipédii.